Statistische Grundberechnungen

Haltedauer Return
Die Formel für die Haltezeitraum-Rückgabe wurde zuvor bei der Diskussion der zeitgewichteten Rückgabemessung eingeführt. Die gleiche Formel gilt für die Anwendung auf Häufigkeitsverteilungen (Beschreibungen wurden leicht geändert):

Formel 2. 16
R t = [(P t - P t - 1 + D t ) / P t - 1 ]
wobei: R t = Halteperiodenrückkehr für die Zeitdauer (t) und P t = Preis des Vermögenswerts am Ende der Zeitperiode t, P t - 1 = Preis des Vermögenswerts am Ende der Zeitperiode (t - 1),
D < t = Bargeldverteilungen, die während der Zeit t
Relative und kumulative Häufigkeiten

Die relative Häufigkeit wird berechnet, indem die absolute Häufigkeit eines bestimmten Intervalls durch die Gesamtbevölkerung dividiert wird. Die kumulative relative Häufigkeit ist ein Prozess, bei dem relative Häufigkeiten addiert werden, um den Prozentsatz der Beobachtungen anzuzeigen, die bei oder unter einem bestimmten Punkt liegen. Eine Illustration zur Berechnung der relativen Häufigkeit und der kumulativen relativen Häufigkeit finden Sie in der folgenden Häufigkeitsverteilung für vierteljährliche Renditen in den letzten 10 Jahren für einen Investmentfonds:

Vierteljährliches Rückgabeintervall
Anzahl der Beobachtungen (absolute Häufigkeit) Relative Häufigkeit Kumulative absolute Häufigkeit Kumulative relative Häufigkeit -15% bis -10% < 2
5. 0% 2 5. 0% -10% bis -5% 1
2. 5% 3 7. 5% -5% bis 0% 5
12. 5% 8 20. 0% 0% bis + 5% 17
42. 5% 25 62. 5% + 5% bis + 10% 10
25. 0% 35 87. 5% + 10% bis + 15% 2 5. 0%
37 92. 5% + 15% bis + 20% 3 7. 5% 40
100. 0%
Es gibt 40 Beobachtungen in dieser Verteilung (letzte 10 Jahre, vier Viertel pro Jahr), und die relative Häufigkeit wird durch Teilen der Zahl in der zweiten Spalte durch 40 gefunden. Die kumulative absolute Frequenz (vierter Spalte) wird konstruiert, indem die Häufigkeit aller Beobachtungen bei oder unter diesem Punkt hinzugefügt wird. Also für das fünfte Intervall, + 5% bis + 10%, finden wir die kumulative absolute Frequenz durch Addition der absoluten Frequenz im fünften Intervall und aller vorherigen Intervalle: 2 + 1 + 5 + 17 + 10 = 35. Die letzte Spalte, kumulative relative Häufigkeit, nimmt die Nummer in der vierten Spalte und dividiert durch 40 die Gesamtanzahl der Beobachtungen. Histogramme und Frequenzpolygone Ein Histogramm ist eine Häufigkeitsverteilung, die als Balkendiagramm mit der Anzahl der Beobachtungen auf der Y-Achse und den Intervallen auf dem X dargestellt wird.
Die obige Häufigkeitsverteilung wird als Histogramm in der Abbildung dargestellt. 2. 2 unten:

Abbildung 2. 2: Histogramm
Ein Rückgabepolygon zeigt ein Liniendiagramm und kein Balkendiagramm. Hier sind die Daten aus der Häufigkeitsverteilung, die mit einem Rückgabepolygon dargestellt werden:
Abbildung 2. 3: Rückgabepolygon
Look Out!

Sie können aufgefordert werden, die für ein Histogramm oder ein Frequenzpolygon dargestellten Daten zu beschreiben.Höchstwahrscheinlich würde dies die Bewertung des Risikos mit einschließen, dass es zwei Beispiele für die negativsten Ergebnisse gibt (d. H. Quartale unter -10%, Kategorie 1). Sie werden auch gefragt, wie normal das Diagramm verteilt ist. Normalverteilungen werden später in dieser Anleitung beschrieben.

Zentrale Tendenz

Der Begriff "zentrale Tendenzen" bezieht sich auf die verschiedenen Methoden, mit denen beschrieben wird, wo sich große Datengruppen in einer Population oder Stichprobe befinden. Hier wird ein anderer Weg angegeben: Wenn wir einen Wert oder eine Beobachtung aus einer Population oder Stichprobe ziehen würden, was würden wir typischerweise erwarten, dass der Wert ist? Zur Berechnung der zentralen Tendenz werden verschiedene Methoden verwendet. Am häufigsten wird das arithmetische Mittel oder die Summe der Beobachtungen dividiert durch die Anzahl der Beobachtungen verwendet.
Beispiel: Arithmetischer Mittelwert
Wenn wir beispielsweise 20 Quartale von Rückgabedaten haben:

-1. 5% -2. 5% + 5. 6% + 10. 7%
+0. 8% -7. 7% -10. 1% +2. 2%

+12. 0% + 10. 9% -2. 6% +0. 2%
-1. 9% -6. 2% + 17. 1% +4. 8%
+9. 1% +3. 0% -0. 2% +1. 8%
Wir finden das arithmetische Mittel, indem wir die 20 Beobachtungen zusammen addieren und dann durch 20 dividieren.
((- 1. 5%) + (-2. 5%) + 5. 6% + 10. 7 % + 0. 8% + (7. 7%) + (-10.1%) + 2. 2% + 12. 0% + 10. 9% + (-2. 6%) + 0. 2% + (-1,9%) + (-6,2%) + 17,1% + 4,8% + 9,1% + 3,0% + (-0,2%) + 1, 8%) = 45. 5%
Arithmetisches Mittel = 45. 5% / 20 = 2. 275%
Der Mittelwert wird gewöhnlich so interpretiert, dass er die Frage beantwortet, was das wahrscheinlichste Ergebnis ist oder was die Daten am gerechtesten darstellt.
Die arithmetische Mittelformel wird verwendet, um den Mittelwert der Grundgesamtheit (oft bezeichnet mit dem griechischen Symbol μ) zu berechnen, das das arithmetische Mittel der gesamten Grundgesamtheit ist. Der Mittelwert der Bevölkerung ist ein Beispiel für einen Parameter und muss definitionsgemäß eindeutig sein. Das heißt, eine gegebene Population kann nur einen Mittelwert haben. Der Stichprobenmittelwert (bezeichnet mit X oder X-Balken) ist der arithmetische Mittelwert einer Stichprobe. Dies ist ein Beispiel für eine Beispielstatistik und ist für ein bestimmtes Beispiel eindeutig. Mit anderen Worten können fünf Proben, die aus derselben Population gezogen werden, fünf verschiedene Probenmittel erzeugen.
Während das arithmetische Mittel das am häufigsten verwendete Maß für die zentrale Tendenz ist, weist es doch Mängel auf, die in einigen Fällen dazu führen, dass es bei der Beschreibung einer Population oder Stichprobe irreführend wird. Insbesondere das arithmetische Mittel ist empfindlich gegenüber Extremwerten.
Beispiel:

Angenommen, wir haben die folgenden fünf Beobachtungen: -9000, 1. 4, 1. 6, 2. 4 und 3. 7. Das arithmetische Mittel ist -1798. 2 [(-9000 + 1. 4 + 1. 6 + 2. 4 + 3. 7) / 5], noch -1798. 2 hat wenig Bedeutung bei der Beschreibung unseres Datensatzes.
Der Ausreißer (-9000) zeichnet das Gesamtmittel auf. Statistiker verwenden eine Vielzahl von Methoden, um Ausreißer zu kompensieren, z. B. den höchsten und niedrigsten Wert zu eliminieren, bevor der Mittelwert berechnet wird.
Wenn Sie zum Beispiel -9000 und 3. 7 fallen lassen, haben die drei verbleibenden Beobachtungen einen Mittelwert von 1. 8, eine aussagekräftigere Beschreibung der Daten. Ein anderer Ansatz besteht darin, entweder den Median oder den Modus oder beide zu verwenden.

Gewichteter Durchschnitt oder Mittelwert
Der gewichtete Durchschnitt oder gewichtete Mittelwert, wenn er auf ein Portfolio angewendet wird, nimmt die mittlere Rendite jeder Anlageklasse und gewichtet sie durch die Zuordnung jeder Klasse.
Nehmen wir an, ein Portfoliomanager hat für jede Klasse die folgende Allokation und durchschnittliche jährliche Performance-Renditen erzielt:
Asset-Klasse

Portfolio-Gewicht
Mittlere jährliche Rendite
U. S. Large Cap

30% 9. 6% U. S. mittlere Kappe
15% 11. 2% U. S. Kleine Kappe
10% 7. 4% Fremd (Entwickelte Mkts)
15% 8. 8% Schwellenländer
8% 14. 1% Fixed Income (kurz / mittel)
12% 4. 1% festverzinsliche Wertpapiere (lange Laufzeiten)
7% 6. 6% Bargeld / Geldmarkt
3% 2. 1% Der gewichtete Mittelwert wird berechnet, indem die Rendite jeder Klasse gewichtet und summiert wird:
Portfolio-Rendite = (0,30) * (0, 096) + (0,15) * (0, 112) + (0. 10) * (0. 074) + (0. 15) * (0. 088) + (0, 08) * (0, 141) + (0, 12) * (0, 041) + (0 07) * (0 .066) + (0. 03) * (0. 021) = 8. 765% Median Der Median ist definiert als der Mittelwert einer Serie, die entweder aufsteigend oder absteigende Reihenfolge. Im obigen Beispiel mit fünf Beobachtungen ist der Medianwert oder Mittelwert 1,6 (d. H. Zwei Werte unter 1,6 und zwei Werte über 1,6). In diesem Fall ist der Median ein viel gerechterer Indikator für die Daten als der Mittelwert von -1798. 2. Modus

Modus
ist definiert als der bestimmte Wert, der am häufigsten beobachtet wird. In einigen Anwendungen ist der Modus die aussagekräftigste Beschreibung. Nehmen Sie einen Fall mit einem Portfolio von zehn Investmentfonds und ihren jeweiligen Ratings: 5, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 2 und 1. Das arithmetische Mittel Rating ist 3. 5 Sterne. In diesem Beispiel beschreibt die modale Bewertung von vier jedoch die Mehrheit der Beobachtungen und könnte als eine fairere Beschreibung angesehen werden.
Gewichteter Mittelwert
Der gewichtete Mittelwert wird häufig bei Portfolioproblemen beobachtet, bei denen verschiedene Vermögensklassen innerhalb des Portfolios gewichtet werden - wenn beispielsweise Aktien 60% eines Portfolios ausmachen, dann ist 0,6 das Gewicht. Ein gewichteter Mittelwert wird berechnet, indem der Mittelwert jedes Gewichts mit dem Gewicht multipliziert wird und dann die Produkte summiert werden.
Nehmen Sie ein Beispiel, bei dem Aktien 60%, Anleihen 30% und Bargeld 10% gewichtet sind. Nehmen Sie an, dass der Aktienanteil 10%, die Anleihen 6% und die Barmittelrendite 2% zurückgingen. Die gewichtete durchschnittliche Rendite des Portfolios beträgt:
Aktien (wtd) + Anleihen (wtd) + Cash (wtd) = (0. 6) * (0. 1) + (0. 3) * (0. 06) + ( 0. 1) * (0. 02) = (0. 06) + (0. 018) + (0. 002) = 8%
Geometrischer Mittelwert
Wir haben das geometrische Mittel früher in den Berechnungen für zeitgewichtete Leistung. Es wird normalerweise auf Daten in Prozent angewendet: Renditen über die Zeit oder Wachstumsraten. Bei einer Reihe von n Beobachtungen der Statistik X ist das geometrische Mittel (G):
Formel 2. 1
7
G = (X
1 * X

2 < * X 3
* X 4 ... * X n ) 1 / n Wenn wir also einen Zeitraum von vier Jahren haben, wo der Umsatz eines Unternehmens um 4%, 5%, -3% und 10% wuchs, ist hier die Berechnung des geometrischen Mittels: G = ((1.04) * (1, 05) * (0, 97) * (1, 1)) 1/4 - 1 = 3, 9%. Es ist wichtig, Erfahrungen mit der Verwendung des geometrischen Mittelwerts in Prozent zu sammeln, wobei die Daten miteinander verknüpft werden: (1) addiere 1 zu jedem Prozentsatz, (2) multipliziere alle Terme miteinander, (3) trage das Produkt zum 1 / n Macht und (4) subtrahiere 1 vom Ergebnis.

Der harmonische Mittelwert
wird durch die folgenden Schritte berechnet:
1. Nimmt den Kehrwert jeder Beobachtung oder 1 / X, 2. Diese Begriffe zusammen hinzufügen, 3. Durchschnitt der Summe durch Division durch n oder die Gesamtzahl der Beobachtungen,
4. Nimm den Kehrwert dieses Ergebnisses.
Der harmonische Mittelwert hängt am meisten mit Fragen über die Mittelung des Dollarkosten zusammen, aber seine Verwendung ist begrenzt. Arithmetisches Mittel, gewichteter Mittelwert und geometrischer Mittelwert sind die am häufigsten verwendeten Maßnahmen und sollten im Mittelpunkt des Studiums stehen. Quartile, Quintiles, Dezile und Percentile.
Diese Begriffe sind am häufigsten mit Fällen verbunden, in denen der Punkt der zentralen Tendenz nicht das Hauptziel der Forschungsstudie ist. Zum Beispiel sind wir bei einer Verteilung von Fünf-Jahres-Performance-Renditen für Vermögensverwalter möglicherweise nicht an der Durchschnittsperformance (dh dem Manager auf dem 50% -Niveau) interessiert, sondern eher an denjenigen in den Top 10% oder den Top 20%. der Vertrieb. Denken Sie daran, dass der Median im Wesentlichen eine Verteilung in zwei Hälften teilt.
Nach demselben Verfahren sind Quartile das Ergebnis einer Verteilung, die in vier Teile geteilt wird; Quintile beziehen sich auf fünf Teile; Dezile, 10 Teile; und Perzentile, 100 Teile. Ein Manager im zweiten Quintil wäre besser als 60% (untere drei Quintile) und unter 20% (das oberste Quintil) (d. H. Irgendwo zwischen 20% und 40% in Perzentil). Ein Manager im 21
st
-Perzentil hat 20 Prozentpunkte oben, 79 Prozentpunkte darunter.